梯形蝴蝶定理是什么（蝴蝶模型别乱用）

最近一段时间，看到一些小学数学求面积题，有些人用蝴蝶模型秒解，这引起了我的好奇心，特意去查阅了一些资料，看看“蝴蝶模型”到底是什么……

说起来可能没人会信，我作为一个18年毕业的本科生，连“蝴蝶模型”都没听说过，也许是我太孤陋寡闻了！

话不多说，我们一起来看看“蝴蝶模型”的定义。

按我的理解，大概是这样的:在一个梯形中，连接两条对角线，会形成4个三角形，然后两条腰上面的三角形面积会相等。

设想如果学生只会死记硬背，那么这个定理将毫无用处，甚至有的时候乱用会导致题目做错。所以，理解“蝴蝶定理”的深层逻辑是十分有必要的。这个结论到底是怎么来的呢？

蝴蝶模型

通过数形结合，一起来看下“蝴蝶模型”……

如上图，在梯形ABCD中，AD平行BC，连接AC、BD交于点O，则有S2＝S4(三角形AOB的面积＝三角形DOC的面积)

证明这个结论之前，我们首先得知道这个知识点:已知两条平行线，在其中一条平行线上取两条长度相同的线段（可以重合），在另一条平行线上任取两点点（可以重合），连接形成的两个三角形面积相等。

这个知识点理解起来并不难，三个顶点在平行线上的三角形高是一定相等的，如果再有底边相等，那么三角形面积自然是相等的！

知道这些之后，我们再来证明“蝴蝶定理”！

S2+S3=S4+S3

在梯形中，因为上底与下底是平行的，所以我们很容易得到S△ABC=S△DCB，即S2+S3＝S4+S3。仔细观察可以发现，三角形ABC与三角形DCB有重叠的部分，所以减去三角形BOC之后，我们可以得到S△AOB=S△DOC，即S2＝S4。

这个结论直接用当然简单，不过有一些面积问题往往需要通过添加辅助线的方式来构造“蝴蝶模型”！下面我们通过一个例子，更加深入地了解一下它的应用……

这道题只给我们小正方形的边长，大正方形的边长不知道，要求阴影部分的面积……

如图，做两条辅助线，很容易得到AB平行CD，四边形ABCD是梯形，所以用“蝴蝶模型”可以得到S△BCE=S△ADE，而S△ADE=S△AFE（利用刚刚平行线等底等高，面积相等），则阴影部分的面积=三角形ABC的面积=小正方形面积的一半。

“蝴蝶模型”用起来确实比较好用，但是要谨记两点:1.四边形要是梯形；2.对角线与两条腰形成的三角形面积相等。

此外，在这个“蝴蝶模型”的图形中还有其他结论:

✔ S1:S3=a²:b²

✔ S1 *S3=S2 *S4(任意四边形也适用，这个结论叫“十字定理”)

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学习就要趁热打铁，类似求面积的题目还有很多，下面这道大家可以小试牛刀～～